第二节 极限

数列极限

一个数列, 是指一个接着一个并且永无尽头的数的排列.

例如:

$$1,2,3,\cdots n, \cdots$$ $$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \cdots, \frac{1}{2^n}, \cdots$$ $$-1,1,-1,1,\cdots,(-1)^{n},\cdots$$ $$1,1,1,2,1,3,\cdots ,1 ,\frac{n}{2},\cdots$$

数列常常记为$\{x_n\}$ ($n\in \mathbf{N}^{+}$), 其中$x_n$称为数列的通项, 即

$$x_1,x_2,\cdots ,x_n,\cdots$$

数列极限的概念

当$n$趋近于无穷大时, 一个数列如果能与唯一的常数$A$无限接近, 我们则称该数列 $\left\{x_{n}\right\}$的极限存在 或称数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $A$, 记为

$$\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A,$$

或

$$x_{n} \rightarrow A(n \rightarrow \infty).$$

若数列不收敛（即数列极限不存在）则称数列发散.

【注】 (1)正负无穷统称为无穷大, 由于$n$是正整数, 故这里的无穷大指的是正无穷.

(2)“极限存在”就等同于“极限为常数”.

判断下列数列 $\{x_n\}$ 的敛散性, 若收敛, 求其极限:

(1) $x_n=n^2$;

(2) $x_n=(-1)^n$;

(3) $x_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$.

▶提示

判断数列敛散性需观察 $n \to \infty$ 时通项的变化趋势. 若趋向唯一确定的常数则收敛, 否则发散.

▶答案

(1) 发散；(2) 发散；(3) 收敛，极限为 $0$

▶详解

【解】 (1) 对于 $x_n=n^2$, 当 $n \to \infty$ 时, $x_n$ 无限增大.

$$\lim\limits_{n \to \infty} n^2 = \infty$$

由于极限不存在(无穷大属于发散的一种情况), 故数列 $\{x_n\}$ 发散.

(2) 对于 $x_n=(-1)^n$, 当 $n$ 为偶数时, $x_n=1$; 当 $n$ 为奇数时, $x_n=-1$.

由于该数列在 $-1$ 与 $1$ 之间来回摆动, 不趋向于任何确定的常数, 故数列 $\{x_n\}$ 发散.

(3) 对于 $x_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n$, 这是一个公比 $q = \frac{1}{2}$ 的等比数列.

由于 $|q| < 1$, 故

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0$$

所以数列 $\{x_n\}$ 收敛, 且其极限为 $0$.

[评注]

几何数列(等比数列) $\{q^n\}$ 的敛散性结论是考研数学中的常考基础: 当 $|q|<1$ 时收敛于 $0$; 当 $q=1$ 时收敛于 $1$; 其余情况均发散.

数列收敛的充要条件

在数列 $\{x_n\}$中任意抽取无限多项, 并保持这些项在原数列中的先后次序, 这样得到的一个数列称为原数列$\left\{x_n\right\}$的子列, 一般用符号 $\left\{x_{n_k} \right\}$表示.

数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $A$ $\Leftrightarrow$ $\left\{x_{n}\right\}$ 的任一子列都收敛于 $A$.

推论

$$\lim\limits _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=\lim\limits _{n \rightarrow \infty} x_{2 n-1}=A\Leftrightarrow \lim\limits _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A .$$

此推论可用于证明数列极限不存在.

证明数列 $x_n = \cos(n\pi)$ 的极限不存在.

▶详解

【解】 取原数列的偶数项子列 $\{x_{2k}\}$：

$$x_{2k} = \cos(2k\pi) = 1 \implies \lim_{k\to\infty} x_{2k} = 1$$

再取原数列的奇数项子列 $\{x_{2k-1}\}$：

$$x_{2k-1} = \cos((2k-1)\pi) = -1 \implies \lim_{k\to\infty} x_{2k-1} = -1$$

由于两个子列的极限不相等（$1 \neq -1$），根据收敛数列与子列的关系，原数列 $\{ \cos(n\pi) \}$ 发散（极限不存在）.

判断数列$\{x_n\}$的敛散性, 如果收敛, 请指出其极限.

(1) $x_n=\mathrm{e}^n$;

(2) $x_n=\arctan n$;

(3) $x_n=\begin{cases} 0, & n\text{为奇数;} \\ n, & n\text{为偶数.} \end{cases}$

▶答案

(1) 发散；(2) 收敛，极限为 $\frac{\pi}{2}$；(3) 发散

▶详解

【解】 (1) 对于数列 $x_n=\mathrm{e}^n$:

由于底数 $\mathrm{e} \approx 2.718 > 1$, 则有

$$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \lim\limits_{n\to\infty} \mathrm{e}^n = +\infty$$

故该数列发散.

(2) 对于数列 $x_n=\arctan n$:

由反正切函数的图像与性质可知

$$\lim\limits_{n\to\infty} x_n = \lim\limits_{n\to\infty} \arctan n = \frac{\pi}{2}$$

故该数列收敛, 极限为 $\frac{\pi}{2}$.

(3) 对于数列 $x_n=\begin{cases} 0, & n\text{为奇数;} \\ n, & n\text{为偶数.} \end{cases}$:

取偶数项子列 $\{x_{2k}\}$, 有

$$\lim\limits_{k\to\infty} x_{2k} = \lim\limits_{k\to\infty} (2k) = +\infty$$

由于其存在趋于无穷大的子列, 故该数列发散.

[评注]

若找到一个发散的子列 (如趋于无穷), 或两个子列极限不相等, 则原数列发散.

函数极限

函数极限的概念

当自变量$x$趋近于某个点$x_0$时, 函数$f(x)$如果能与唯一的常数$A$无限接近, 则称该函数 $f(x)$的极限存在（为A）, 记作

$$\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$$

[评注]

我们常引入下面的记号描述$x \rightarrow x_0$的过程:

区间$\left(x_0-\delta, x_0\right) \cup\left(x_0, x_0+\delta\right)$记作$\mathring{U}_{ \delta}\left(x_0\right)$,称为 $x_0$ 的 $\delta$ 去心邻域.

区间 $\left(x_0-\delta, x_0+\delta\right)$记作$U_{ \delta}\left(x_0\right)$ .称为$x_0$ 的 $\delta$ 邻域.

当自变量趋于正负无穷时也是类似的.

单侧极限

函数在某点处的极限可细分为左极限与右极限.

函数在点$x_{0}$处的 左极限记作: $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$或$f(x_0-0)$;

函数在点$x_{0}$处的 右极限记作: $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$或$f(x_0+0)$.

函数在一点处极限存在的充要条件是左右极限都存在且相等, 即

$$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A\Leftrightarrow\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=A$$

以上结论也适用于 $x \rightarrow \infty$时.

求极限

(1) $\lim\limits _{x \rightarrow \infty} \mathrm{e}^{x}$.

(2) $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \arctan \frac{1}{x}.$

(3) $\lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{|x-1|}{x-1}.$

(4) $\lim\limits_{x \to 2} [x]$ ($[x]$表示取整函数).

▶提示

注意需要讨论两侧的极限.

▶答案

(1) 不存在；(2) 不存在；(3) 不存在；(4) 不存在

▶详解

【解】 (1)由于

$$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x}=+\infty, \quad \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^{x}=0$$

由于 $\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \mathrm{e}^{x} \neq \lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \mathrm{e}^{x}$, 故该极限不存在.

(2) 由于

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0^{+}} \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}, \quad \lim\limits_{x \rightarrow 0^{-}} \arctan \frac{1}{x} = -\frac{\pi}{2}$$

左右极限不相等, 故 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \arctan \frac{1}{x}$ 不存在.

(3)当 $x \rightarrow 1^{+}$ 时, $|x-1|=x-1$, 则

$$\lim\limits_{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x-1}{x-1}=1$$

当 $x \rightarrow 1^{-}$ 时, $|x-1|=-(x-1)$, 则

$$\lim\limits_{x \rightarrow 1^{-}} \frac{-(x-1)}{x-1}=-1$$

左右极限不相等, 故原极限不存在.

(4) 由于

$$\lim\limits_{x \rightarrow 2^{+}}[x]=2, \quad \lim\limits_{x \rightarrow 2^{-}}[x]=1$$

左右极限不相等, 故 $\lim\limits_{x \rightarrow 2}[x]$ 不存在.

[评注]

单侧极限不仅包含某点处的左右极限, 也包含无穷远处的正负趋向（$x\rightarrow \pm \infty$）. 需要讨论左右极限的常见情况有:

1. 分段函数在其分界点处;

2. $\mathrm{e}^{x}$在$x\rightarrow\infty$时;

3. $\arctan{x}$在$x\rightarrow\infty$时;

4. 带绝对值的极限.

设函数 $f(x) = \begin{cases} \ln (|x|+1), & x > 0 \\ \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}, & x < 0 \end{cases}$, 求 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 是否存在.

▶提示

注意看左、右极限是否存在且相等. 注意指数函数在自变量趋向无穷大时的状态.

▶答案

存在，为 $0$

▶详解

【解】 分别计算左右极限.

左极限:

$$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}=0$$

右极限:

$$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} \ln (x+1) = \ln 1=0$$

由于 $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$, 故 $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ 存在,为$0$.

极限存在的两个判定准则与两个重要极限

夹逼准则

给定数列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{y_{n}\right\}$ 及 $\left\{z_{n}\right\}$, 若存在 $n_{0} \in \mathbf{N}^{+}$, 当 $n \geqslant n_{0}$ 时, 有

$$y_{n} \leqslant x_{n} \leqslant z_{n},\text{且} \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} z_{n}=A ,$$

则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A$.

夹逼准则也可以推广 to 函数情形.

借此可得第一重要极限:

$$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1.$$

求极限: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$.

▶答案

$3$

▶详解

【解】 运用整体代换思想，为了凑出 $\lim\limits_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ 的标准形式，对分母进行恒等变形：

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim\limits_{x \to 0} \left( 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x} \right)$$

令 $u = 3x$，当 $x \to 0$ 时 $u \to 0$，则：

$$\text{原式} = 3 \cdot \lim\limits_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 3 \cdot 1 = 3$$

单调有界准则

单调有界的数列必有极限.

【注】 上述结论对与函数也类似.

单调有界准则有两情形:(1)单调递增且有上界; (2)单调递减且有下界.

第二个重要极限:

$$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}\text{或}\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}.$$

求极限: $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x$.

▶答案

$\mathrm{e}^2$

▶详解

【解】 构造标准形 $\lim\limits_{u \to \infty} (1 + \frac{1}{u})^u = \mathrm{e}$。将原式变形为：

$$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{x}{2} \cdot 2} = \left[ \lim\limits_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{x}{2}} \right]^2$$

令 $u = \frac{x}{2}$，当 $x \to \infty$ 时 $u \to \infty$，故原式 $= \mathrm{e}^2$。

极限的运算法则

在同一极限过程中, 设 $\lim f(x)=A, \lim g(x)=B$（即两个极限均存在）, 则

$$\begin{aligned} & \lim [f(x)+g(x)]=A+B ; \quad \lim [f(x)-g(x)]=A-B ; \\ & \lim [f(x) \cdot g(x)]=A \cdot B ; \quad \lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B \neq 0) . \end{aligned}$$

求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right)$.

▶提示

本题属于 $\infty - \infty$ 型极限, 处理此类问题的标准步骤是先通过通分将其转化为分式形式.

▶答案

$\frac{1}{2}$

▶详解

【解】 对原式进行通分并化简:

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x^2-1}\right) &= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x+1)-2}{x^2-1} \\ &= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} \\ &= \lim\limits_{x \rightarrow 1} \frac{1}{x+1} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

设 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = 2$, $\lim\limits_{x \to 1} g(x) = 3$, 求 $\lim\limits_{x \to 1} \frac{f(x) \cdot g(x) + x}{g(x) - 1}$.

▶答案

$\frac{7}{2}$

▶详解

【解】 根据极限的四则运算法则, 由于分子分母中各部分的极限均存在, 且分母的极限 $\lim\limits_{x \to 1} (g(x) - 1) = 3 - 1 = 2 \neq 0$.

故可以直接代入极限值计算:

$$\text{原式} = \frac{\lim\limits_{x \to 1} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to 1} g(x) + \lim\limits_{x \to 1} x}{\lim\limits_{x \to 1} g(x) - 1} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3 - 1} = \frac{7}{2}$$

[评注]

极限四则运算法则 (加减乘除) 使用的前提是: 参与运算的各项极限必须都存在, 且若为商的形式, 分母极限不能为 0. 这是最基础的“代入法”求极限.

复合函数的极限运算:

多数情况下, 极限符号可以移入函数符号内部:

$$\lim\limits_{x \to x_0} f[g(x)] = f\left( \lim\limits_{x \to x_0} g(x) \right)$$

其本质是利用了换元法. 具体内容在第一阶段详细说明.

求极限: $\lim\limits_{x \to 0} \ln \left( \frac{\sin x}{x} +\cos x\right)$.

▶答案

$\ln 2$

▶详解

【解】

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \right) &= \ln \left[ \lim\limits_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \right) \right] \\ &= \ln \left( \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} + \lim\limits_{x \rightarrow 0} \cos x \right) \end{aligned}$$

根据第一重要极限 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , 有

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} + \lim\limits_{x \rightarrow 0} \cos x = 1 + 1 = 2$$

故原式为

$$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \ln \left( \frac{\sin x}{x} + \cos x \right) = \ln 2$$

无穷小与无穷大

定义

若某个极限过程中, $f(x)$的极限为$0$, 则称该极限过程中$f(x)$为无穷小.

【注】 对于数列亦可.

也就是说 无穷小是指极限为0的函数或数列, 而不是数值很小的数 (0 是唯一的常数无穷小).

若某个极限过程中, $f(x)$的极限为无穷, 则称该极限过程中$f(x)$为无穷大.

【注】 正负无穷大统称为无穷大.

无穷小与无穷大的关系

(i) 在自变量的同一变化过程中, 若 $\lim f(x) = 0$ (且 $f(x) \neq 0$), 则

$$\lim \frac{1}{f(x)} = \infty$$

(ii) 在自变量的同一变化过程中, 若 $\lim f(x) = \infty$, 则

$$\lim \frac{1}{f(x)} = 0$$

求极限:

(1) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$.

(2) $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2^n + n}$.

▶提示

观察自变量趋向零时, 分母的变化趋势及其符号特征.

▶答案

(1) $+\infty$；(2) $0$

▶详解

【解】 (1)当 $x \rightarrow 0$ 时, 分母 $x^2 \rightarrow 0$ 且 $x^2 > 0$ 恒成立. 按照无穷大量的定义, 有

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty$$

(2)由于当 $n \rightarrow \infty$ 时, $2^n \rightarrow \infty$ 且 $n \rightarrow \infty$, 故分母 $2^n + n \rightarrow \infty$. 根据无穷大量与无穷小量的倒数关系, 有

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2^n + n} = 0$$

[评注]

极限为 $\infty$ 是极限不存在的一种特殊情况. 若题目问“是否存在”, 应回答“不存在”

设 $\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \infty$, 则 $\lim\limits_{x \to x_0} \sin\left(\frac{1}{f(x)}\right) =$ ______

▶提示

利用复合函数极限运算法则以及无穷大量与无穷小量的倒数关系求解.

▶答案

$0$

▶详解

【解】 令 $t = \frac{1}{f(x)}$. 由于 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = \infty$, 根据无穷大量与无穷小量的定义可知

$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0} t = \lim\limits_{x \rightarrow x_0} \frac{1}{f(x)} = 0$$

故

$$\lim\limits_{x \to x_0} \sin\left(\frac{1}{f(x)}\right) = \lim\limits_{t \to 0} \sin t = 0$$

应填 0.

无穷小与无穷大的性质

有限个无穷小量的和、差、积也是无穷小量.

在上述性质中, 一定要强调的是“有限个”, 换言之, 无限个无穷小相加则不一定是多少.

例如:$\lim _{n \rightarrow \infty}(\underbrace{\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}}_{n \text{个}}) \neq \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}+\cdots+\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$.

实际上

$$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\cdots+\frac{1}{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} 1=1$$

无穷小乘有界变量仍是无穷小量.

求极限 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x^2}$.

▶答案

$0$

▶详解

而因为对任意的 $x \neq 0$，正弦函数始终满足 $\left|\sin \frac{1}{x^2}\right| \leqslant 1$，即 $\sin \frac{1}{x^2}$ 是一个有界的波动函数.

无穷小量 $\times$ 有界量 = 无穷小量.

故极限为0.

求极限: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin (n^2)}{n}$.

▶提示

利用性质: 无穷小量 $\times$ 有界量 = 无穷小量.

▶答案

$0$

▶详解

【解】 原式可变形为

$$\lim\limits_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \cdot \sin (n^2) \right]$$

当 $n \to \infty$ 时, $\frac{1}{n} \to 0$, 即 $\frac{1}{n}$ 为无穷小量. 对于任意 $n$, 均有 $|\sin (n^2)| \leqslant 1$, 即数列 $\{\sin (n^2)\}$ 有界.

故根据无穷小与有界变量乘积的性质, 可得

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\sin (n^2)}{n} = 0.$$

此外关于无穷小与无穷大有下列常见结论:

(1) $(+\infty) + (+\infty) = +\infty, \quad (-\infty) + (-\infty) = -\infty$

(2) $(+\infty) - (+\infty) =$ 未知, \quad $(-\infty) - (-\infty) =$ 未知

(3) $\infty \times$非零常数$=\infty$

(4) $\infty \times$无穷小$=$未知.

无穷小的比较

设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \alpha(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \beta(x)=0$, 则

(1) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=0$, 则称 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的高阶无穷小, 记作 $\beta(x) = o(\alpha(x))$;

(2) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=c \neq 0$, 则称 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 是同阶无穷小;

(3) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\beta(x)}{\alpha(x)}=1$, 则称 $\beta(x)$ 与 $\alpha(x)$ 是等价无穷小, 记作 $\alpha(x) \sim \beta(x)$.

(4) 如果 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{\beta(x)}{[\alpha(x)]^{k}}=c \neq 0, k>0$, 则称 $x \rightarrow x_{0}$ 时 $\beta(x)$ 是 $\alpha(x)$ 的 $k$ 阶无穷小.

等价无穷小

$\lim\limits _{x \rightarrow x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1$, 则称$x \rightarrow x_0$时, $f(x),g(x)$是等价量, 记作

$$f(x)\sim g(x) \quad (x \rightarrow x_0).$$

实际含义是： 这两个函数在这个极限趋向下近似相等.

对数列也可有类似的定义.

【注】 提及等价时务必关注极限的趋向.

根据第一个重要极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1.$ 我们可以说: $x \rightarrow 0$ 时, $\sin x \sim x$.

类似地我们有下面一些常见的等价无穷小： 当 $x \rightarrow 0$ 时,

(1) $x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x;$

(2) $1-\cos x \sim \dfrac{1}{2} x^{2};$

(3) $\mathrm{e}^{x}-1 \sim x, a^{x}-1 \sim x \ln a, \ln (1+x) \sim x, \log _{a}(1+x) \sim \dfrac{1}{\ln a} x,$ ($a>0, a\neq 1$,为常数);

(4) $(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x$ (为常数) . 特别地: $\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$.

填空: 当 $x \to 0$ 时

(1) $\ln(1 + \sqrt[3]{x})\sim$ ______

(2) $\sqrt{x+1} - 1 \sim$ ______

(3) $(\cos\sqrt{2x^2} - 1)\sim$ ______

▶答案

(1) $x^{\frac{1}{3}}$；(2) $\frac{1}{2}x$；(3) $-x^2$

▶详解

【解】 (1) $\ln(1 + \sqrt[3]{x})\sim x^{\frac{1}{3}}$;

(2) $(1+x)^{\frac{1}{2}} - 1 \sim \frac{1}{2}x$;

(3) 原式$= - (1 - \cos\sqrt{2x^2})$，当 $x \to 0$ 时，$\sqrt{2x^2} \to 0$. 故：

$$- (1 - \cos\sqrt{2x^2}) \sim - \frac{1}{2} (\sqrt{2x^2})^2 = - \frac{1}{2} (2x^2) = -x^2$$

若 $x \to 0$ 时, $(1 + ax)^{\frac{1}{3}} - 1$ 与 $- 2x$ 是等价无穷小, 则常数 $a =$ ______

▶提示

根据等价无穷小的定义, 两者之比在 $x \to 0$ 时的极限为 $1$. 直接利用 $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$ 即可.

▶答案

$-6$

▶详解

【解】 由于

$$(1 + ax)^{\frac{1}{3}} - 1 \sim \frac{1}{3} ax$$

得 $a = -6$.

无穷大的比较

处理多项式相除的极限时, 采用抓大放小方法: 只提取每个因式的最高次项即可.

求极限:

(1) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+1}{2 x^{3}-x^2-1}$;

(2) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3x}{ x+100}$;

▶答案

(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\infty$

▶详解

【解】 (1) $x \to \infty$, 分子最大是 $x^3$, 分母最大是 $2x^3$:

$$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}+1}{2 x^{3}-x^2-1} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3}}{2 x^{3}} = \frac{1}{2}$$

(2) $x \to \infty$, 分子最大是 $x^2$, 分母最大是 $x$:

$$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+3x}{ x+100} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}}{x} = \lim _{x \rightarrow \infty} x = \infty$$

[评注]

利用“抓大放小”的方法简化计算, 但务必要注意极限的趋向. 例如下面两个多项式, 在不同趋向下的等价量是完全不同的:

(1) $x \rightarrow \infty$时, $6x^3+4x^2+5x\sim$ ______;

(2) $x \rightarrow 0$时, $6x^3+4x^2+5x\sim$ ______.

求极限: $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n-1)^2}{4n^3 + 5n}$.

▶答案

$1$

▶详解

【解】 不需要展开分子, 直接观察分子和分母的最高次幂项. 分子最高次项为: $n \cdot (2n)^2 = 4n^3$. 分母最高次项为: $4n^3$.

分子分母同除以 $n^3$:

$$\begin{aligned} \text{原式} &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{(1+\frac{1}{n})(2-\frac{1}{n})^2}{4 + \frac{5}{n^2}} \\ &= \frac{1 \cdot (2)^2}{4} \\ &= 1 \end{aligned}$$

此外我们还有如下结论：当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $\ln ^{\alpha} x \ll x^{\beta} \ll a^{x}$ (其中 $\alpha>0, \beta>0, a>1$ ).

求下列极限.

(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{1000}}{\mathrm{e}^{ x}}$;

(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln x}{x}$.

(3) $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{ x}+2}{\mathrm{e}^{x}+1}$;

▶答案

(1) $0$；(2) $0$；(3) 不存在

▶详解

【解】 (1)正无穷时指数函数远大于幂函数,故极限为 0;

(2) 正无穷时幂函数远大于对数函数 ,故极限为0 ;

(3) (i) 当 $x \rightarrow+\infty$ 时, 分子分母同除以 $\mathrm{e}^x$:

$$\lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{\mathrm{e}^x+2}{\mathrm{e}^x+1} \xlongequal{\text{同除以} \mathrm{e}^x} \lim\limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{1+2\mathrm{e}^{-x}}{1+\mathrm{e}^{-x}} = 1$$

(ii) 当 $x \rightarrow-\infty$ 时, $\mathrm{e}^x \rightarrow 0$, 故

$$\lim\limits_{x \rightarrow-\infty} \frac{\mathrm{e}^x+2}{\mathrm{e}^x+1} = \frac{0+2}{0+1} = 2.$$

由于 $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 1 \neq \lim\limits_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 2$，左右两侧极限不相等，故原极限 $\lim\limits_{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^{x}+2}{\mathrm{e}^{x}+1}$ 不存在.

求极限: $\lim _{x \rightarrow -\infty}x^2 \mathrm{e}^x$.

▶答案

$0$

▶详解

【解】 令 $t = -x$. 当 $x \to -\infty$ 时, $t \to +\infty$. 原式可变形为 $\frac{\infty}{\infty}$ 型:

$$\lim\limits_{x \to -\infty} x^2 \mathrm{e}^x = \lim\limits_{t \to +\infty} (-t)^2 \mathrm{e}^{-t} = \lim\limits_{t \to +\infty} \frac{t^2}{\mathrm{e}^t}$$

再利用结论, 故原极限为 $0$.

求极限 $\lim _{x \rightarrow +\infty}\frac{\mathrm{e}^x}{x^2} .$

▶答案

$+\infty$

▶详解

【解】 分母为幂函数,分子为指数函数（较大）, 故极限为 $+\infty$.

极限的化简方法

求极限时往往要将函数或数列进行一定的化简, 常用的方法有: 拆分、等价替换、换元、因式分解、有理化等.

极限的拆分

考虑形如 $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) +g(x)+h(x)}{u(x) }$ 的极限, 在什么情况下可以拆分计算?

依据极限四则运算法则, 对于分子有加减法的分式, 我们有如下 拆分原则:

拆分后如果某个部分极限是存在的, 则可将这部分极限先拆分计算, 这往往会使得计算更加简便. 也就是说 , 我们先假设它能拆分, 计算后发现计算存在, 就确定这部分可以拆分. 也就是说，若 $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) }{u(x) }$ 存在，则可以将原极限拆分为：$\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) }{u(x) }+\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{g(x)+h(x) }{u(x) }$.

注意：拆分后的如果是 $\infty - \infty$ 型的未定式, 则不能直接拆分, 需要使用其他方式计算.

等价量替换

若 (1) $x \rightarrow x_0$ 时, $f(x) \sim f_1(x)$, $g(x) \sim g_1(x), u(x) \sim u_1(x), v(x) \sim v_1(x)$;

(2) $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f_1(x) g_1(x)}{u_1(x)v_1(x)}=A$(存在), 则

$$\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) g(x)}{u(x) v(x) }=\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f_1(x) g_1(x)}{u_1(x)v_1(x)}=A .$$

【证明】 利用极限四则运算法则中的乘法法则易证:

$$\begin{aligned} \lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) g(x)}{u(x) v(x)}&=\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{f_1(x)}\cdot\dfrac{g(x)}{g_1(x)}\cdot\dfrac{u_1(x)}{u(x)}\cdot\dfrac{v_1(x)}{v(x)}\cdot \dfrac{f_1(x) g_1(x)}{u_1(x) v_1(x)} \\&=1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot A =A. \end{aligned}$$

即

$$\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) g(x)}{u(x) v(x) }=\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f_1(x) g_1(x)}{u_1(x)v_1(x)}=A .$$

[评注]

一些常见问题： (1) 问题：什么情况下一定可以使用等价替换？

答：在求函数极限时, 若整个极限是存在的, 则对整体函数中的因式一定可以运用等价量替换 .本质是四则运算的乘法法则.

例如, 极限 $\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x) +g(x)h(x)}{u(x) v(x) }$存在, 则其中的$u(x),v(x)$一定可以运用等价替换.

(2) 问题：那这个分子呢？何时一定可以用等价无穷小?

答：遇到分子出现加减法, 最稳妥的办法是不使用等价替换, 而是 考虑是否可以拆分. 如果拆得的极限是存在的, 那么你可以对拆得的部分中的因式等价, 另一部分仍需要进一步计算.

例如, 如果发现, 单独计算$\lim\limits _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)}{u(x) v(x) }$是存在的, 那么我们就可以放心地对其中的$f(x)$等价了.

(3) 问题：规矩太多了 , 有没有更好的方法?

答：后续学习的泰勒公式可以更高级地解决上述问题, 但有时计算量较大, 且记忆难度较高.

等价无穷小是常用的工具.

当 $x \rightarrow 0$ 时, (1) $x\sim \sin x \sim \tan x \sim \arcsin x \sim \arctan x;$ (2) $1-\cos x \sim \dfrac{1}{2} x^{2};$ (3) $\mathrm{e}^{x}-1 \sim x, a^{x}-1 \sim x \ln a, \ln (1+x) \sim x, \log _{a}(1+x) \sim \dfrac{1}{\ln a} x,$($a>0, a\neq 1$,为常数); (4) $(1+x)^{\alpha}-1 \sim \alpha x$ (为常数) . 特别地: $\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$.

利用等价无穷小求极限: $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin (3x) \cdot \ln(1+5x)}{\cos x \cdot \tan(2x)}$

▶提示

在乘除运算中, 可以对各个因式分别使用等价无穷小替换. 注意 $\cos x$ 在 $x \to 0$ 时极限为 1, 可直接代入.

▶答案

$0$

▶详解

【解】 当 $x \to 0$ 时, $\sin (3x) \sim 3x$, $\ln(1+5x) \sim 5x$, $\tan(2x) \sim 2x$. 原式可化为

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{3x \cdot 5x}{1 \cdot 2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{15x^2}{2x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{15x}{2} =0$$

[评注]

乘除法时使用等价替换是安全的.

注意这里的 $\cos x$ 极限为 1 的因式, 直接代入 1 即可.

利用等价无穷小求极限 $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \arctan x} - 1}{\sin^2 x}$

▶提示

利用等价替换 $\triangle\rightarrow 0, (1+\triangle)^{\alpha}-1 \sim \alpha \triangle$ 以及 $\arctan x \sim x$.

▶答案

$\frac{1}{2}$

▶详解

【解】 当 $x \to 0$ 时, $x \arctan x \to 0$. 分子部分有

$$\sqrt{1 + x \arctan x} - 1 \sim \frac{1}{2} x \arctan x \sim \frac{1}{2} x^2$$

分母部分 $\sin^2 x \sim x^2$. 故

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \arctan x} - 1}{\sin^2 x} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2} x^2}{x^2} = \frac{1}{2}$$

利用等价无穷小求极限 $\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(\cos x)}{x^2}$.

▶提示

利用等价替换 $\triangle\rightarrow 0, \ln(1+\triangle) \sim \triangle$ . 需通过“减 1 加 1”法构造标准形式.

▶答案

$-\frac{1}{2}$

▶详解

【解】 原式变形为

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln [1 + (\cos x - 1)]}{x^2}$$

当 $x \to 0$ 时, $\cos x - 1 \to 0$, 故 $\ln [1 + (\cos x - 1)] \sim \cos x - 1$. 又由于 $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$, 则

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{2}x^2}{x^2} = -\frac{1}{2}$$

[评注]

1. “加 1 减 1”是处理 $\ln(f(x))$ 型极限的核心技巧, 其中 $f(x) \to 1$.

2. 牢记 $\cos x - 1 \sim -\frac{1}{2}x^2$ 中的负号, 这是极易丢分的细节.

求极限 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$. 某位同学做这个题目时, 是这样解的:

“因为 $\tan x \sim x, \sin x \sim x$, 故分子可直接替换为 $x - x = 0$, 从而极限值为 $0$. ”

指出上述解法哪里有误.

▶提示

本题为 $\frac{0}{0}$ 型极限. 可利用三角恒等变形将分子由“减法”转化为“乘法”, 从而安全地使用等价无穷小替换.

▶答案

他错在对分子中的加减法项盲目使用了等价替换. 正确答案为$\frac{1}{2}$.

▶详解

他错在对分子中的加减法项盲目使用了等价替换. 正确解法:

【解】 借助 $\sin x=\tan x \cos x$ 提取分子公因式 $\tan x$:

$$\begin{aligned} \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x} {x^3} &= \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\tan x\cos x}{x^3} \\ &= \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x(1-\cos x)}{x^3} \\ &= \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot \frac{1}{2} x^2}{x^3} = \frac{1}{2} \end{aligned}$$

求极限:

(1) $\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x^2)}{x^3 \sin x}$.

(2) $\lim\limits _{x \rightarrow 0} \dfrac{x \tan x}{\sqrt{1-x^{2}}-1}$.

▶答案

(1) $\frac{1}{2}$；(2) $-2$

▶详解

【解】 (1)利用等价无穷小代换. 分子部分: 令 $u = x^2$, 则 $1 - \cos u \sim \frac{1}{2}u^2$, 故

$$1 - \cos(x^2) \sim \frac{1}{2}(x^2)^2 = \frac{1}{2}x^4$$

分母部分: $\sin x \sim x$, 故

$$x^3 \sin x \sim x^3 \cdot x = x^4$$

原式为纯乘除形式, 直接等价代换:

$$\text{原式} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2}x^4}{x^4} = \frac{1}{2}$$

(2)当 $x \to 0$ 时, 分子中的 $\tan x \sim x$. 对于分母, 利用等价无穷小公式 $(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$, 有

$$\sqrt{1-x^2} - 1 = (1 - x^2)^{\frac{1}{2}} - 1 \sim \frac{1}{2}(-x^2) = -\frac{1}{2}x^2.$$

代入原式得

$$\begin{aligned} \text{原式} &= \lim\limits_{x \to 0} \frac{x \cdot x}{-\frac{1}{2}x^2} \\ &\xlongequal{\text{化简}} \lim\limits_{x \to 0} \frac{x^2}{-\frac{1}{2}x^2} \\ &= -2. \end{aligned}$$