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ddx∫axf(t) dt=f(x)\frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt = f(x)
f(x)=∑n=0∞f(n)(0)n!xn.f(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.
lim⁡x→0(1+x)1x=e\lim\limits_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint\limits_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S}
∬D(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮CPdx+Qdy\iint\limits_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy = \oint_C P dx + Q dy
∫−∞+∞e−x2dx=π\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}
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01知识讲解
懂你的困惑 · 突破传统教学

掌握本质，自然懂得应变

人性化教学结构，让学习自然发生。

02例题精讲
精选例题 · 深化认知

纸笔推演，过程精细

拒绝 PPT ，拒绝突兀跳步。 从设问本质到几何直觉，感受纸笔的温润。

03对应自测
随即自测 · 答疑托底

不怕卡壳，随时有托底

例题后随即自测，精心设计对应变体自测题，助你深入掌握。还有一对一答疑支持。

讲义示例

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真题精析 01 · 变限积分与连续性构造
配套纸笔手写精讲视频与自测题
题目设问

求极限 limx→0 ln⁡(1+arcsin⁡x)−ln⁡(1+sin⁡x)  x3 \lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln(1+\arcsin x) - \ln(1+\sin x)}{x^3}.

思维推导与直觉映射

利用拉格朗日中值定理.

精细文字答案与本质推演

设 f(t)=ln⁡(1+t)f(t) = \ln(1+t)，根据拉格朗日中值定理, 存在 ξ\xi 介于 sin⁡x\sin x 与 arcsin⁡x\arcsin x 之间，使得

ln⁡(1+arcsin⁡x)−ln⁡(1+sin⁡x)= 1  1+ξ (arcsin⁡x−sin⁡x).\ln(1+\arcsin x) - \ln(1+\sin x) = \frac{1}{1+\xi}(\arcsin x - \sin x).

当 x→0x \to 0 时，ξ→0\xi \to 0， 1  1+ξ →1\frac{1}{1+\xi} \to 1. 又 arcsin⁡x−sin⁡x∼ 1  3 x3\arcsin x - \sin x \sim \frac{1}{3}x^3, 故原极限为:

limx→0  1  3 x3  x3 = 1  3 .\lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3}{x^3} = \frac{1}{3}.
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