第三节 定积分的概念和计算

定积分的概念

在几何上,设 $a<b$ ,若 $f(x)\geqslant 0$ , 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示曲线 $y=f(x)$ 和直线 $x=a, x=b$ 以及 $x$ 轴围成的曲边梯形面积, 但若 $f(x)\leqslant 0$ ,则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示负的面积.

其中 $f(x)$ 叫做被积函数, $x$ 叫做积分变量 ,$a$ 叫做积分下限, $b$ 叫做积分上限, $[a, b]$ 叫做积分区间.

与不定积分类似, 定积分也有线性性质.

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b}\left[k_{1} f_{1}(x)+k_{2} f_{2}(x)\right] \mathrm{d} x = k_{1} \int_{a}^{b} f_{1}(x) \mathrm{d} x+k_{2} \int_{a}^{b} f_{2}(x) \mathrm{d} x \end{aligned}$$

($k_1,k_2$ 为常数)

下面是定积分常用且独特的性质.

定积分与积分变量的字母无关. 即

$$\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^b f(t) \mathrm{d} t=\int_a^b f(u) \mathrm{d} u .$$

$\displaystyle\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{~d}x=0,$ 且 $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d}x=-\displaystyle\int_{b}^{a} f(x) \mathrm{~d}x.$

$$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x = \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x+\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x. \end{aligned}$$

定积分的计算

利用几何意义计算

计算定积分 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{~d}x$.

▶答案

$\frac{\pi a^2}{4}$

▶详解

【解】 利用几何意义知 即为四分之一的半径为 $a$ 的圆面积, 即 $\frac{\pi a^2}{4}.$

牛顿-莱布尼茨公式

如果函数 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的一个原函数,那么

$$\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(x)\bigg|_{a}^b=F(b)-F(a)$$

计算 $\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

▶答案

$\frac{\pi}{2}$

▶详解

【解】 直接利用基本积分公式与牛顿-莱布尼茨公式, 得

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-x^{2}}} &= \arcsin x \Big|_{0}^{1} \\ &= \arcsin 1 - \arcsin 0 \\ &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned}$$

计算 $\int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}}$.

▶答案

$\frac{7}{12} \pi$

▶详解

【解】

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{\sqrt{3}} \frac{\mathrm{d} x}{1+x^{2}} &= \arctan x\bigg|_{-1} ^{\sqrt{3}} \\ &= \arctan \sqrt{3}-\arctan (-1) \\ &= \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4} \\ &= \frac{7}{12} \pi. \end{aligned}$$

利用凑微分法求定积分

凑微分法求定积分与不定积分完全类似.

利用凑微分法计算定积分:

(1) $\displaystyle\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d}x$

(2) $\displaystyle\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d}x$

(3) $\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^2 x \mathrm{~d}x$

▶答案

(1) $\frac{1}{2}(\mathrm{e} - 1)$

(2) $\frac{1}{2} \ln 2$

(3) $\frac{1}{3}$

▶详解

【解】 (1) 观察到 $x \mathrm{~d}x$ 是 $x^2$ 导数的一部分, 凑 $x^2$ 的微分:

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d}x &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^2} \mathrm{~d}(x^2) \\ &= \frac{1}{2} \mathrm{e}^{x^2} \Big|_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2}(\mathrm{e} - 1). \end{aligned}$$

(2) 观察到分子 $x$ 是分母 $1+x^2$ 导数的一部分, 凑 $1+x^2$ 的微分:

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d}x &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}(1+x^2)}{1+x^2} \\ &= \frac{1}{2} \ln(1+x^2) \Big|_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{2} \ln 2. \end{aligned}$$

(3) 观察到 $\sin x \mathrm{~d}x$ 正是 $\cos x$ 导数的相反数, 凑 $\cos x$ 的微分:

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cos^2 x \mathrm{~d}x &= -\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x \mathrm{~d}(\cos x) \\ &= -\frac{1}{3} \cos^3 x \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\ &= \frac{1}{3}. \end{aligned}$$

计算下列定积分:

(1) $\displaystyle\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d}x$

(2) $\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \mathrm{~d}x$

(3) $\displaystyle\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d}x$

▶提示

本题综合考查定积分的第一类换元法(凑微分法). 先利用凑微分将部分项化入微分号内, 如果使用换元法, 注意上下限的变化.

▶答案

(1) $\frac{1}{2}$

(2) $\frac{\pi}{4}$

(3) $\sqrt{5} - 1$

▶详解

【解】 (1) 将分母的 $x$ 凑成 $\ln x$ 的微分, 得

$$\begin{aligned} \int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{\ln x}{x} \mathrm{~d}x &= \int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d}(\ln x) \\ &\xlongequal{t=\ln x} \int_{0}^{1} t \mathrm{~d}t \\ &= \frac{1}{2}t^2 \Big|_{0}^{1} = \frac{1}{2}. \end{aligned}$$

也可不换元, 直接写成 $\frac{1}{2} \ln^2 x\Big|_{1}^{\mathrm{e}}= \frac{1}{2}.$

(2) 提取分子的 $\sin x$ 凑成 $\cos x$ 的微分, 得

$$\begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} \mathrm{~d}x &= -\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\cos^2 x} \mathrm{~d}(\cos x) \\ &\xlongequal{t=\cos x} -\int_{1}^{0} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{~d}t \\ &= \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^2} \mathrm{~d}t \\ &= \arctan t \Big|_{0}^{1} = \frac{\pi}{4}. \end{aligned}$$

也可不换元, 直接写成 $=-\arctan(\cos x) \Big|_0^{\frac{\pi}{2}} =-(\arctan 0-\arctan1) = \frac{\pi}{4}.$

(3) 将分子的 $x$ 凑成 $1+x^2$ 的微分, 得

$$\begin{aligned} \int_0^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d}x &= \frac{1}{2} \int_0^2 (1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d}(1+x^2) \\ &\xlongequal{t=1+x^2} \frac{1}{2} \int_{1}^{5} t^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d}t \\ &= t^{\frac{1}{2}} \Big|_{1}^{5} = \sqrt{5} - 1. \end{aligned}$$

也可不换元, 直接写成 $\sqrt{1+x^2} \Big|_0^2 = \sqrt{5} - 1.$

[评注]

选择不换元直接计算, 即把 $\ln x$, $\cos x$, $1+x^2$ 看作一个整体直接积分, 但有时可能导致计算复杂.

计算 $\int_0^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d}x$.

▶提示

直接将 $x$ 凑微分, 构造出与分母根号内部相同的表达式 $\mathrm{d}(1+x^2)$

▶答案

$\sqrt{5} - 1$

▶详解

【解】

$$\begin{aligned} \int_0^2 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d}x &= \frac{1}{2} \int_0^2 (1+x^2)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d}(1+x^2) \\ &= \sqrt{1+x^2} \Big|_0^2 \\ &= \sqrt{5} - 1. \end{aligned}$$

利用换元法求定积分

定积分的换元法与不定积分是类似的, 但应注意:换元后积分变量改变, 积分上下限也随之改变.

计算定积分 $\int_{-1}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{2+ x}}$.

▶答案

$\frac{10}{3} - 2\sqrt{3}$

▶详解

【解】 令 $t = \sqrt{2+x}$, 则 $x = t^2 - 2$, $\mathrm{~d}x = 2t \mathrm{~d}t$.

当 $x = -1$ 时, $t = 1$; 当 $x = 1$ 时, $t = \sqrt{3}$.

$$\begin{aligned} \int_{-1}^{1} \frac{x \mathrm{~d} x}{\sqrt{2+ x}} &= \int_{1}^{\sqrt{3}} \frac{t^2 - 2}{t} \cdot 2t \mathrm{~d}t \\ &= \int_{1}^{\sqrt{3}} (2t^2 - 4) \mathrm{~d}t \\ &= \left( \frac{2}{3}t^3 - 4t \right)\Big|_{1}^{\sqrt{3}} = \frac{10}{3} - 2\sqrt{3}. \end{aligned}$$

计算定积分 $\int_{0}^{4} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d}x$.

▶提示

根式代换消去根号, 注意换元的同时必须更换积分上下限.

▶答案

$4 - 2\ln 3$

▶详解

【解】 令 $t = \sqrt{x}$, 则 $x = t^2$, $\mathrm{d}x = 2t \mathrm{~d}t$. 当 $x=0$ 时 $t=0$; 当 $x=4$ 时 $t=2$.

$$\begin{aligned} \int_{0}^{4} \frac{1}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d}x &= \int_{0}^{2} \frac{2t}{1+t} \mathrm{~d}t \\ &= 2 \int_{0}^{2} \left( 1 - \frac{1}{1+t} \right) \mathrm{~d}t \\ &= 2 \Big( t - \ln(1+t) \Big)\Big|_{0}^{2} \\ &= 4 - 2\ln 3 \end{aligned}$$

利用分部积分法求定积分

设 $u^{\prime}(x), v^{\prime}(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则

$$\int_{a}^{b} u(x) v^{\prime}(x) \mathrm{d} x=u(x) v(x)\bigg|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} v(x) u^{\prime}(x) \mathrm{d} x.$$

计算下列定积分:

(1)$\int_{0}^{\pi} x \sin x \mathrm{~d}x$.

(2)$\int_{0}^{1} \arcsin x \mathrm{~d}x$.

(3) $\int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x}\mathrm{~d}x$.

▶答案

(1) $\pi$

(2) $\frac{\pi}{2} - 1$

(3) $1 - \frac{2}{\mathrm{e}}$

▶详解

【解】 (1)

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x \sin x \mathrm{~d}x &= -\int_{0}^{\pi} x \mathrm{~d}(\cos x) \\ &= -x\cos x\Big|_{0}^{\pi} + \int_{0}^{\pi} \cos x \mathrm{~d}x \\ &= \pi + \sin x\Big|_{0}^{\pi} \\ &= \pi \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \arcsin x \mathrm{~d}x &= \int_{0}^{1} \arcsin x \mathrm{~d}(x) \\ &= x \arcsin x \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \mathrm{~d}(\arcsin x) \\ &= \left( 1 \cdot \frac{\pi}{2} - 0 \right) - \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d}x \\ &= \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{~d}(1-x^2) \\ &= \frac{\pi}{2} + \sqrt{1-x^2} \Big|_{0}^{1} \\ &= \frac{\pi}{2} - 1. \end{aligned}$$

(3) 将被积函数中的 $\mathrm{e}^{-x}$ 凑入微分号内, 得

$$\begin{aligned} \int_{0}^{1} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x &= -\int_{0}^{1} x \mathrm{~d}(\mathrm{e}^{-x}) \\ &= -\left( x\mathrm{e}^{-x} \Big|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d}x \right) \\ &= - \left( \mathrm{e}^{-1} -0 + \mathrm{e}^{-x} \Big|_{0}^{1} \right) \\ &= - ( \mathrm{e}^{-1} + \mathrm{e}^{-1} - 1 ) \\ &= 1 - \frac{2}{\mathrm{e}}. \end{aligned}$$

计算下列定积分 :

(1) $\int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d}x$.

(2) $\int_{0}^{\pi} x \cos x \mathrm{~d} x$.

▶提示

(1)直接使用分部积分法;(2)将三角函数凑入微分内再用分部积分法.

▶答案

(1) $1$

(2) $-2$

▶详解

【解】 (1)

$$\begin{aligned} \int_{1}^{\mathrm{e}} \ln x \mathrm{~d}x &= x \ln x\Big|_{1}^{\mathrm{e}} - \int_{1}^{\mathrm{e}} x \mathrm{~d}(\ln x) \\ &= \mathrm{e} - \int_{1}^{\mathrm{e}} 1 \mathrm{~d}x \\ &= \mathrm{e} - (\mathrm{e}-1) \\ &= 1 \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} \int_{0}^{\pi} x \cos x \mathrm{~d} x &= \int_{0}^{\pi} x \mathrm{~d}(\sin x) \\ &= x \sin x \Big|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x \\ &= 0 + \cos x \Big|_{0}^{\pi} = -1-1=-2. \end{aligned}$$